Конденсатор и постоянная времени: от реле времени до плавного пуска

Нажимаете кнопку в подъезде — свет горит, через полминуты гаснет сам. Внутри нет микроконтроллера, нет часов, нет программы. Время отмеряет конденсатор, который медленно разряжается через резистор. Та же пара «резистор плюс конденсатор» плавно открывает силовой ключ, сглаживает ШИМ и отсекает помехи. У всех этих схем один закон и одно число — постоянная времени.

Почему напряжение не может прыгнуть

Конденсатор накапливает заряд: q = C·U. Чтобы изменить напряжение на нём, нужно принести или унести заряд, а заряд переносит ток. Отсюда главное соотношение:

i = C · dU/dt

Скачок напряжения за нулевое время потребовал бы бесконечного тока. Если ток ограничен резистором, напряжение меняется постепенно, и скорость этого изменения зависит от самого напряжения.

Представьте заряд через резистор R от источника U. В первый момент конденсатор пуст, на резисторе всё напряжение источника, ток максимальный: U / R. Конденсатор заряжается быстро. По мере заряда на резисторе остаётся всё меньше, ток падает, заряд замедляется. Скорость заряда пропорциональна тому, сколько ещё осталось, а такой процесс всегда даёт экспоненту:

заряд:  u(t) = U · (1 − e^(−t/τ))
разряд: u(t) = U0 · e^(−t/τ)
τ = R · C

Постоянная времени τ — это время, за которое напряжение проходит 63 % оставшегося пути. Удобная деталь: килоомы на микрофарады дают миллисекунды. 10 кОм × 10 мкФ = 100 мс.

Время	Заряд, % от U	Разряд, % от U0
τ	63	37
2τ	86	14
3τ	95	5
5τ	99,3	0,7

Экспонента никогда не доходит до конца, поэтому договорились считать процесс законченным через 5τ.

Проверяем в симуляторе

В этом примере источник 10 В, резистор 10 кОм и конденсатор 10 мкФ, τ = 0,1 с. Модель даёт через 0,1 с 6,32 В, через 0,2 с — 8,64 В, через 0,3 с — 9,49 В. Это ровно 63, 86 и 95 % из таблицы.

Разряд устроен так же, только зеркально. В примере «Разряд конденсатора» заряженный до 10 В конденсатор 10 мкФ разряжается через 47 кОм: τ = 0,47 с. На осциллографе видно, как напряжение за это время падает до 3,7 В. Заряд, который был в конденсаторе, q = C·U = 10 мкФ · 10 В = 100 мкКл, и весь он уходит через резистор.

Время до порога: главная расчётная формула

На практике спрашивают не «сколько будет через τ», а «когда напряжение дойдёт до такого-то порога». Порог — это напряжение, при котором что-то происходит: открывается транзистор, переключается триггер Шмитта, срабатывает вход микроконтроллера. Формулу получают, решив экспоненту относительно времени:

// Заряд от 0 до порога Uth при питании U
float t_charge = R * C * logf(U / (U - Uth));

// Разряд от U0 до порога Uth (к нулю)
float t_discharge = R * C * logf(U0 / Uth);

// Разряд не к нулю, а к уровню Uend (например, к 0,7 В базы)
float t_to = R * C * logf((U0 - Uend) / (Uth - Uend));

Последняя строка понадобится сразу же.

Реле времени: свет гаснет сам

Пример «Реле времени на конденсаторе» — та самая подъездная задержка. Батарея 9 В, кнопка, резистор 100 Ом, электролит 470 мкФ, резистор базы 47 кОм, транзистор n-p-n и зелёный светодиод с резистором 680 Ом в коллекторе.

Кнопка заряжает конденсатор через 100 Ом: τ = 100 · 470 мкФ = 47 мс, для человека мгновенно. Когда кнопку отпускают, конденсатор может разряжаться только через 47 кОм в базу транзистора. База держит около 0,7 В, так что конденсатор разряжается не к нулю, а к этим 0,7 В, с τ = 47 кОм · 470 мкФ ≈ 22 с.

Сколько светодиод горит в полную силу, считаем по шагам.

1. Ток светодиода при открытом транзисторе: (9 − 2,2) / 680 ≈ 10 мА, в симуляторе 9,8 мА.
2. Коэффициент усиления транзистора в модели β = 200. Для полного открытия нужен ток базы не меньше 9,8 мА / 200 ≈ 49 мкА.
3. Напряжение на конденсаторе, при котором ток базы ещё 49 мкА: 0,7 + 49 мкА · 47 кОм ≈ 3,0 В.
4. Время разряда от 9 до 3 В к уровню 0,7 В: 22 · ln((9 − 0,7) / (3,0 − 0,7)) = 22 · ln 3,6 ≈ 28 с.

В симуляторе светодиод держит полный ток примерно 30 секунд после отпускания кнопки, потом начинает плавно тускнеть: транзистор выходит из насыщения, ток коллектора идёт за током базы. Через 45 секунд ток уже вдвое меньше. Уменьшите ёмкость до 47 мкФ — время сократится в десять раз. С резистором 100 кОм в базе τ вырастет вдвое и угасание станет вдвое медленнее, но полная яркость продержится не дольше: порог насыщения поднимется до 0,7 + 49 мкА · 100 кОм ≈ 5,6 В, и до него конденсатор дойдёт примерно за те же 25 секунд.

Плавное угасание — прямое следствие экспоненты: транзистор повторяет медленное падение напряжения. Если нужен чёткий момент выключения, после RC-цепи ставят элемент с порогом — триггер Шмитта или компаратор.

Плавный пуск: RC на затворе полевого транзистора

Холодная нить лампы накаливания имеет сопротивление в разы меньше рабочего, и при включении ток кратковременно в несколько раз больше номинального. В примере «Плавное включение» затвор полевого транзистора заряжается через резистор 10 кОм, ёмкость 47 мкФ, а резистор 100 кОм разряжает затвор после выключения.

Здесь два резистора образуют делитель, и конденсатор заряжается не до 12 В, а до напряжения делителя через их параллельное сопротивление:

1. Предельное напряжение: 12 · 100 / (10 + 100) ≈ 10,9 В.
2. Эквивалентное сопротивление: 10 кОм ∥ 100 кОм ≈ 9,1 кОм.
3. τ = 9,1 кОм · 47 мкФ ≈ 0,43 с.
4. Пороговое напряжение транзистора в модели 2,0 В. Время до порога: 0,43 · ln(10,9 / (10,9 − 2,0)) ≈ 0,087 с.

Важная тонкость видна только в расчёте. Транзистор переходит от «закрыт» к «открыт полностью» не за всю экспоненту, а пока затвор проходит узкий участок от 2,0 до примерно 2,3 В. Это время: 0,43 · ln(8,9 / 8,6) ≈ 15 мс, столько же длится спад на стоке в симуляторе. Весь остальной заряд затвора до 10,9 В на лампу уже не влияет. Хотите растянуть фронт — увеличивайте τ: при 470 мкФ задержка вырастает почти до секунды, а сам спад на стоке — примерно до 0,15 с.

Две оговорки. Во время плавного открытия транзистор работает в линейном режиме и на нём рассеивается мощность, так что растягивать фронт до секунд на мощной нагрузке нельзя без радиатора. И в модели лампа — постоянное сопротивление, бросок тока холодной нити она не показывает; видно другое — как фронт на стоке растягивается вместе с τ. Резистор 100 кОм разряжает затвор с τ = 100 кОм · 47 мкФ = 4,7 с, поэтому после выключения схеме нужно несколько секунд, чтобы плавный пуск снова сработал.

Фильтры и ШИМ: та же экспонента, повторённая тысячи раз

Если на RC-цепь подать меандр, конденсатор каждые полпериода заряжается и разряжается. Результат зависит от соотношения τ и периода.

В примере «RC-фильтр» R = 10 кОм, C = 10 нФ, τ = 100 мкс, меандр 2 кГц с периодом 500 мкс. Полупериод 250 мкс — это 2,5τ, конденсатор успевает пройти 1 − e^(−2,5) ≈ 92 % пути, и на выходе скруглённые горбы от 0,3 до 3,7 В при входе от 0 до 4 В. На 20 кГц полупериод 25 мкс — всего 0,25τ, конденсатор проходит 22 % пути, и сигнал почти пропадает. Частота среза этого фильтра fc = 1 / (2π·R·C) ≈ 1,6 кГц.

На этом же построен ЦАП из ШИМ. В примере «ШИМ и RC» меандр 3,3 В 5 кГц, R = 10 кОм, C = 1 мкФ, τ = 10 мс — в пятьдесят раз больше периода 0,2 мс. Конденсатор не успевает заметно зарядиться или разрядиться за период и держит среднее: 3,3 · D, то есть 1,65 В при D = 0,5 и 0,82 В при D = 0,25. Размах пульсаций можно прикинуть так:

ΔU ≈ U · D · (1 − D) · T / τ = 3,3 · 0,25 · 0,2 / 10 ≈ 0,017 В

Уменьшите ёмкость до 10 нФ: τ станет 0,1 мс, меньше периода, и вместо ровного напряжения на осциллографе появится пила.

Типичные ошибки

• Считают, что за τ конденсатор заряжается полностью. За τ — только 63 %, до практически полного заряда нужно 5τ.
• Забывают про нагрузку. Вольтметр, вход следующего каскада, база транзистора — всё это резистор параллельно конденсатору. Он меняет и τ, и предельное напряжение, как делитель в схеме плавного пуска.
• Рассчитывают долгую задержку на электролите без запаса. Допуск электролитических конденсаторов обычно ±20 %, а их ток утечки — единицы микроампер. На фоне 49 мкА базы это уже заметно, и полминуты вполне могут превратиться в двадцать пять секунд.
• Не ставят разрядный резистор на затвор. Затвор полевого транзистора тока не берёт, и без пути разряда ключ останется открытым после выключения.
• Путают полярность электролита. Обратное напряжение разрушает оксидный слой, конденсатор греется и может вздуться.

Коротко

Напряжение на конденсаторе не может измениться мгновенно, поэтому через резистор он заряжается и разряжается по экспоненте с постоянной времени τ = RC: 63 % за τ, практически всё за 5τ. Время до порога считают по логарифму — формулой t = τ·ln(...), и в реальной схеме важно, к какому уровню и через какое эквивалентное сопротивление идёт заряд. Реле времени, плавный пуск, фильтр и ШИМ-ЦАП — одна и та же экспонента, разница только в соотношении τ с интересующим временем.

Попробуйте в симуляторе